Innovative variational methods for evolution partial differential equations

Project leaders

Ulissemaria Stefanelli, Goro Akagi

Agreement

GIAPPONE - JSPS - Japan Society for the Promotion of Science

Call

CNR/JSPS 2012-2013

Department

Advanced Manufacturing Systems

Thematic area

Engineering, ICT and technologies for energy and transportation

Status of the project

New

Research proposal

 
Parole chiave:
Matematica Applicata, problemi di evoluzione, metodi variazionali.
 
Sommario:
Ci si propone di sviluppare un programma di ricerca in Matematica Applicata focalizzato sull'analisi di alcuni metodi variazionali innovativi per lo studio delle equazioni di evoluzione. Il focus del progetto e` su approcci variazionali globali sulle traiettorie. In particolare, si intende riformulare in termini variazionali opportune classi di problemi d'evoluzione dissipativa e non dissipativa al fine di applicarvi gli strumenti generali del Calcolo delle Variazioni (minimizzazione, rilassamento, Gamma-convergenza).
 
Contesto della ricerca:
I problemi di evoluzione (ossia problemi nei quali la variabile temporale giochi un ruolo rilevante) sono ovviamente ubiqui nelle applicazioni e ricoprono conseguentemente un ruolo pivotale in Matematica Applicata. In particolare, per limitarci alle aree di maggior interesse specifico per questo progetto, problemi evolutivi appaiono naturalmente in contesti cruciali quali la termomeccanica dei continui e le transizioni di fase.
 
I metodi variazionali globali che ci proponiamo di analizzare saranno applicati ad una vasta classe di equazioni e sistemi di evoluzione sia di tipo dissipativo (parabolico) che non dissipativo (iperbolico), eventualmente degenere. In particolare, siamo interessati a considerare:
 
[A] Problemi dissipativi:
[A.1] Sistemi di flusso gradiente, anche in contesti non-classici (spazi metrici, spazi di Wasserstein):
[A.1.1] problema di Stefan, cella di Hele-Shaw, filtrazione in mezzi porosi, moti per curvatura;
[A.1.2] Campo di fase, di Penrose-Fife, viscoelasticita`, reazione-diffusione, di Allen-Cahn.
[A.2] Equazioni doppiamente nonlineari:
[A.2.1] problemi isteretici: elastoplasticita`, danneggiamento e frattura, attrito, magnetostrizione;
[A.2.2] problemi non-isteretici: viscoelastoplasticita`;
 
[B] Problemi non-dissipativi:
[B.1] Sistemi di equazioni ordinarie: meccanica Lagrangiana;
[B.2] Equazioni alle derivate parziali: onde nonlineari.
 
Fatta salva l'estrema rilevanza applicativa, un importante tratto comune alla totalita` delle equazioni e dei sistemi sopra menzionati consiste nella forte nonlinearita` (talora la degenerazione) che ne rende la trattazione particolarmente delicata. Lo sviluppo di tecniche matematiche innovative, quali i metodi variazionali oggetto di questo progetto, permettera` di muovere passi verso nuovi risultati in questi contesti cosi` rilevanti.
 
Metodologia:
Intendiamo sviluppare lo studio di due nuove idee variazionali: il funzionale WED e la caratterizzazione delle relazioni monotone alla Fitzpatrick.
 
Il funzionale WED (Weighted energy dissipation). Sviluppato dapprima in contesto dissipativo (come suggerisce la denominazione stessa) il metodo variazionale basato sul funzionale WED consiste essenzialmente in una perturbazione ellittica (nel tempo) del problema di evoluzione. In particolare, la questione centrale dell'approccio WED e` il passaggio al limite in questa perturbazione. Ci proponiamo di accertare la possibilita` di questo passaggio in una larga classe di situazioni rilevanti, anche in combinazione con ulteriori approssimazioni (discretizzazioni in tempo, Elementi Finiti). Nel contesto non-dissipativo, il funzionale WED e` oggetto di una nota congettura di Ennio De Giorgi, recentemente dimostrata. Ci si propone di estenderne la validita` ad altri problemi alle derivate parziali nonche' al caso finito-dimensionale della meccanica Lagrangiana. In quest'ultimo caso, il metodo WED permettera` di presentare nuovi integratori geometrici.
 
Il metodo di Fitzpatrick. Le relazioni nonlineari di tipo ciclicamente monotone appaiono molto comunemente nelle applicazioni e posso essere efficaciemente rappresentate per mezzo di una relazione variazionale che si deve a Werner Fenchel. Questa osservazione e` alla base del celebrato principio variazionale di Haim Brezis e Ivar Ekeland (1976) per i flussi gradiente in ambito hilbertiano. Piu` Recentemente Simon Fitzpatrick (1988) ha esteso la caratterizzazione di Fenchel al caso di operatori non-ciclici. Questa estensione e` molto rilevante in quanto permette di ricomprendere in una teoria variazionale il caso di operatori non simmetrici. Questo strumento permette di riformulare in termini variazionali una quantita` di equazioni di evoluzione prima inaccessibili a queste tecniche. In particolare, intendiamo utilizzare questa idea per affrontare lo studio di flussi hamiltoniani.
 
Entrambi i metodi hanno recentemente ottenuto crescente attenzione in ambito internazionale. A titolo indicativo si consideri che il primo lavoro sul funzionale WED e` stato selezionato come 'highlight' ed e` a oggi il piu` scaricato degli ultimi dodici mesi dalla rivista Calculus of Variations and Partial Differential Equations. Il metodo di Fenchel (precursore di quello di Fitzpatrick) ed il relativo principio di Brezis-Ekeland e` stato indagato costantemente negli ultimi decenni. Un riferimento e` la recente monografia di ricerca di Nassif Ghoussoub (2008). Il metodo di Fitzpatrick e` stato poi considerato da Augusto Visintin (2011).
 

Research goals

 
Obiettivi:
Si intende approfondire la teoria dei metodi variazionali globali per le equazioni e sistemi di evoluzione sia di tipo parabolico che iperbolico, eventualmente degenere, con particolare riferimento a:
 
Questioni di buona positura:
[a] Esistenza ed eventualmente unicità delle soluzioni;
[b] Approssimabilità mediante schemi di discretizzazione, stabilità e convergenza;
[c] Regolarità delle soluzioni.
 
Analisi del comportamento qualitativo:
[d] Proprietà qualitative, simmetrie, periodicita`;
[e] Comportamento asintotico per tempi lunghi;
[f] Dipendenza da parametri.
 
Si noti che il gruppo di ricerca ha gia` ottenuto promettenti risultati preliminari (anche dal punto di vista numerico) che fanno ritenere realizzabile il programma proposto.
 
 
 

Last update: 25/04/2024