Nonlinear partial differential equations (PDE) with applications in modeling cell growth, chemotaxis and phase transition

Project leaders

Pierluigi Colli, Gabriela Marinoschi

Agreement

ROMANIA - RA - The Romanian Academy

Call

CNR/RA 2014-2016

Department

Engineering, ICT and technologies for energy and transportation

Thematic area

Engineering, ICT and technologies for energy and transportation

Status of the project

New

Research proposal

Descrizione del programma

Questo progetto nasce nell'ambito di una collaborazione tra i partecipanti, già concretizzata in alcuni articoli di ricerca pubblicati su riviste internazionali (vedasi [VB-MI-1993, VB-MI-1997, VB-MI-1999, VB-MB-PC-GG-2001, VB-MI-2001, CC-MI-GM-2005, CC-MI-GM-2007, MI-GM-2008, MI-GM-2009, GIM-2011, GIM-2013, MI-GM-2013]). Dal punto di vista matematico, intendiamo sviluppare metodi analitici per lo studio di equazioni alle derivate parziali non lineari di tipo iperbolico e parabolico, accoppiate a condizioni al contorno non locali, e di descrivere fenomeni che si evolvono con la formazione di frontiere libere. Come applicazioni, prevediamo la modellazione di fenomeni biologici, come la crescita cellulare e la chemotassi, e del processo fisico di transizione di fase, che ha una intersezione non vuota con i primi due. L'impatto del progetto nel campo della ricerca matematica sarà assicurato dalla pubblicazione dei risultati su riviste di alto valore. Allo stesso tempo, i modelli sviluppati sulla base di queste ricerche daranno la possibilità di una migliore comprensione di alcune peculiarità dei processi fisici e biologici interessati.


La ricerca riguardera' tre temi:

1. Crescita dell'epidermide

2. Modelli di chemotassi

3. Modelli di campo di fase



1. Crescita dell'epidermide

Nel lavoro [GIM-2011] è stato proposto un modello con età e struttura spaziale per la crescita dell'epidermide soprabasale. L'obiettivo generale del modello è una descrizione della struttura dell'epidermide come un aggregato stratificato di diverso tipi di cellule.
Il modello matematico consiste in un sistema di quattro equazioni iperboliche non lineari (per le cellule proliferanti, quiescenti, cornee e apoptotiche), con condizioni al contorno integrali e con una frontiera libera che può essere calcolata usando una condizione sulla coesione del tessuto. In questo modello un ruolo centrale è giocato dalla velocità delle cellule, che assumendo una frazione di volume cellulare costante, risulta l'integrale di una combinazione lineare di densità cellulari. In un primo lavoro è stato studiato il problema stazionario utilizzando un punto fisso per dimostrare l'esistenza della soluzione. Il lavoro successivo [GIM-2013] è stato dedicato all'esistenza e unicità di una soluzione del problema evolutivo.
Una naturale continuazione dei precedenti lavori [GIM-2011, GIM-2013] include il calcolo della soluzione numerica del modello con metodi diversi. Un primo metodo consiste nel calcolo della soluzione del problema iperbolico lungo curve caratteristiche. Questi risultati possono essere confrontati con quelli ottenuti con un metodo di viscosità che implica una regolarizzazione parabolica dell'equazione.
L'attività delle cellule nello strato basale, sarà considerata in questo progetto includendo la proliferazione delle cellule basali, permettendo di rappresentare meglio alcune patologie. Altre estensioni possono riguardare il feedback tra gli strati soprabasale e basale, la diffusione dell'ossigeno, e la penetrazione di un farmaco.
In relazione a questa estensione studieremo un problema di controllo, agendo su alcuni parametri che possono determinare una crescita normale dell'epidermide, come la mortalità cellulare e il tasso di mitosi.



2. Modelli di chemotassi

La chemotassi è un fenomeno biologico per cui fondamentalmente una popolazione di cellule si muove in risposta ad un segnale chimico, detto chemotattico, emesso da una sostanza o da un'altra popolazione cellulare. Un modello di chemotassi è formato da un sistema di almeno due equazioni di reazione-diffusione con interdiffusione nella equazione che descrive l'evoluzione della densità cellulare. Dal punto di vista matematico la buona posizione di questo sistema è un problema piuttosto impegnativo. Il ruolo principale nel sistema è giocato dal termine di deriva che, quando è positivo (chemotassi positiva) agisce contro la diffusività e distrugge le buone proprietà dell'operatore di diffusione che di solito assicurano l'esistenza nei problemi di diffusione. Anche se i parametri di questo sistema sono costanti, la prova dell'esistenza della soluzione non è semplice. Pertanto, questo sistema può non avere sempre soluzioni o la sua soluzione può esplodere in tempo finito. In letteratura il sistema chemotattico è stato affrontato in versioni semplificate, ma mantenendo comunque la rilevanza biologica [KP-2009, GM-2013]. Nel lavoro [GM-2013] è stato studiato un sistema con una equazione non stazionaria per le cellule e un'equazione stazionaria per il fattore chemotattico. In questo progetto studieremo il sistema non stazionario per entrambe le equazioni.
Dal momento che alcuni modelli di chemotassi hanno alcune somiglianze con i modelli di campo di fase, nel progetto includiamo il loro studio da questa prospettiva.



3. Modelli di campo di fase

In anni recenti, un crescente interesse è sorto per equazioni e sistemi relativi alla transizione di fase e ai processi di separazione di fase. Sono stati analizzati vari modelli e in particolare il modello di Penrose-Fife ha ricevuto molta attenzione con diverse condizioni e leggi di flusso (vedi, ad esempio, [PC-PL-1998, PC-GG-ER-GS-2004, ER-GS-2004]). Questo modello ha il vantaggio di essere termodinamicamente consistente e mantenere la temperatura assoluta positiva durante l'evoluzione. Una certa ricchezza di nonlinearità e termini non piacevoli nelle equazioni rende lo studio matematico dei problemi risultanti particolarmente stimolante Alcune questioni fondamentali come esistenza, unicità, regolarità della soluzione, analisi per tempi lunghi, comportamento asintotico rispetto a variazioni dei parametri fisici sono stati in parte considerati e discussi. Una volta che l'esistenza e le proprietà di regolarità delle soluzioni (globali nel tempo) sono state provate, un'interessante linea di ricerca è lo studio del problema di controllo ottimo. In questo ambito, abbiamo affrontato un problema di rilassamento di fase in [VB-MB-PC-GG-2001]. In particolare, siccome i modelli Penrose-Fife prevedono un'interfaccia diffusa, un'analisi più approfondita, che intendiamo effettuare, sull'interfaccia liscia attraverso la minimizzazione di un opportuno funzionale di costo potrebbe portare ad una migliore comprensione del relativo problema di frontiera libera.


Riferimenti

[VB-MB-PC-GG-2001] V. Barbu, M.L. Bernardi, P. Colli, G. Gilardi, Optimal control problems of phase relaxation models. JOTA 109 (2001) 557-585.

[VB-MI-1993] V. Barbu, M. Iannelli, Approximating some nonlinear equations by fractional step scheme, Differential & Integral Equations., 6 (1993) 15-26.

[VB-MI-1997] V. Barbu and M. Iannelli, The semigroup approach to non-linear age-structured equations, Rend. Istit. Mat. Univ.Trieste XXVIII (Suppl.): (1997) 59-71.

[VB-MI-1999] V. Barbu, M. Iannelli, Optimal control of population dynamics, JOTA, 102 (1999) 1-14.

[VB-MI-2001] V. Barbu, M. Iannelli, The controllability of the heat equation with memory, Differential and Integral Equations 13 (2001), 1393-1412.

[CC-MI-GM-2005] Caterina Cusulin, Mimmo Iannelli, Gabriela Marinoschi, Age-strucutured diffusion in a multi-layer environment, Nonlinear Analysis Real World Applications, 6, 1, 207-223, 2005.

[CC-MI-GM-2007] Caterina Cusulin, Mimmo Iannelli, Gabriela Marinoschi, Convergence in a multi-layer population model with age-structure, Nonlinear Analysis Real World
Applications, 8, 887-902, 2007.

[MI-GM-2008] Mimmo Iannelli, Gabriela Marinoschi, Well-posedness for a hyperbolic-parabolic Cauchy problem arising in population dynamics, Differential and Integral Equations, 21, 9-10, 917-934, 2008.

[MI-GM-2009] Mimmo Iannelli, Gabriela Marinoschi, Harvesting control for an age-structured population in a multi-layered habitat, JOTA, 142, 107-124, 2009.

[GIM-2011] A. Gandolfi, M. Iannelli, G. Marinoschi, An age-structured model of epidermis growth, J. Math. Biology, 62, 1, 111-141, 2011.

[GIM-2013] A. Gandolfi, M. Iannelli, G. Marinoschi, Time evolution for a model of epidermis growth, J. Evol. Equ. DOI 10.1007/s00028-013-0188-0

[KP-2009] T. Hillen, K.J. Painter, A user's guide to PDE models for chemotaxis, J. Math. Biol. 58 (2009) 183-217.

[MI-GM-2013] M. Iannelli, G. Marinoschi, Numerical solution to the population dynamics model by parabolic regularization, Math. Meth. Appl. Sci., 2013, DOI: 10.1002/mma.2675

[GM-2013] G. Marinoschi, Well-posedness for chemotaxis dynamics with nonlinear cell diffusion, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 402 (2009) 415-439.

[PC-GG-ER-GS-2004] Pierluigi Colli, Gianni Gilardi, Elisabetta Rocca, Giulio Schimperna, On a Penrose-Fife phase-field model with nonhomogeneous Neumann boundary conditions for the temperature, Differential Integral Equations 17 (2004) 511-534.

[PC-PL-1998] Pierluigi Colli, Philippe Laurençot, Weak solutions to the Penrose-Fife phase field model for a class of admissible heat flux laws. Phys. D 111 (1998) 311-334.

[ER-GS-2004] Elisabetta Rocca, Giulio Schimperna, Universal attractor for some singular phase transition systems. Phys. D 192 (2004) 279-307.

Research goals

1. Calcolo numerico della soluzione del sistema di equazioni con condizioni al contorno non locali e frontiera libera che descrivono la crescita dell'epidermide: discretizzazione, calcolo delle soluzioni lungo caratteristiche, esplorazione di scenari di simulazione.

2. Estensione del modello di crescita dell'epidermide al fine di consentire la descrizione di patologie della proliferazione cellulare e dei relativi trattamenti. Studio dell'esistenza della soluzione del modello esteso.

3. Studio del problema di controllo ottimo in relazione con il trattamento. Problemi da studiare in relazione a questo obiettivo sono: l'esistenza del controllo, la buona posizione del sistema duale e la determinazione delle condizioni ottimali necessarie.

4. Studio di un modello di chemotassi visto come un sistema di transizione di fase con equazioni non stazionarie sia per le cellule che per il fattore chemoattrattivo. Studieremo l'evoluzione delle due fasi in questo sistema, dimostrando l'esistenza e cercando condizioni in cui è possibile provare l'unicità.

5. Discussione e analisi del problema di controllo ottimale per un modello di Penrose-Fife considerando l'appropriata ipotesi costitutiva per il flusso di calore e comprendendo sia il controllo distribuito e di frontiera. Una particolare attenzione sarà dedicata alla definizione del funzionale di costo e alla sua approssimazione per portare la soluzione ad avere, al limite, un'interfaccia netta tra le due fasi.

Last update: 16/06/2025