Innovative variational methods for evolution equations

Project leaders

Ulissemaria Stefanelli, Goro Akagi

Agreement

GIAPPONE - JSPS - Japan Society for the Promotion of Science

Call

CNR/JSPS 2014-2015

Department

Engineering, ICT and technologies for energy and transportation

Thematic area

Engineering, ICT and technologies for energy and transportation

Status of the project

Extended

Report for renewal

final-report-scanned-completo.pdf

Research proposal

SOMMARIO


Ci si propone di sviluppare un programma di ricerca in Matematica Applicata centrato sull'analisi e l'analisi numerica di nuovi metodi variazionali per lo studio e la simulazione delle equazioni differenziali di evoluzione, sia di tipo ordinario che alle derivate parziali. L'idea innovativa e` quella di riformulare le equazioni di evoluzione come problemi di minimo per funzionali globali sulle traiettorie al fine di applicarvi gli strumenti generali del Calcolo delle Variazioni. Intendiamo investigare la potenzialita` di alcuni metodi variazionali in relazione a evoluzioni dissipative e non dissipative, con particolare riferimento all'evoluzione dinamica delle fratture, alla fluidodinamica ed ai problemi con operatori frazionari.




CONTESTO DELLA RICERCA


I problemi di evoluzione (ossia problemi nei quali la variabile temporale giochi un ruolo rilevante) sono naturalmente ubiqui nelle applicazioni e ricoprono conseguentemente un ruolo pivotale in Matematica Applicata. In particolare, per limitarci alle aree di maggior interesse specifico per questo progetto, problemi evolutivi appaiono naturalmente in contesti cruciali quali la termomeccanica dei continui e le transizioni di fase, la fluidodinamica, la finanza matematica.



Una grande parte dei sistemi evolutivi di interesse applicativo possiede una inerente struttura variazionale: sovente l'evoluzione e` guidata da principi variazionali quali la estremalita` dell'energia o dell'entropia. Alcuni principi variazionali hanno natura globale sulle traiettorie, tra questi per esempio il principio di Hamilton di estremalita` dell'azione. La possibilita` di riformulare in termini variazionali un problema di evoluzione apre la strada all'applicazione diretta dei metodi generali del Calcolo delle Variazioni quali il cosiddetto Metodo Diretto per la minimizzazione, il rilassamento e l'approssimazione mediante Gamma-convergenza.



Sono recentementi apparsi in letteratura due nuovi metodi variazionali globali per le equazioni di evoluzione sotto l'acronimo di WIDE (Weighted Inertia-Dissipation-Energy) ed il nome di S. Fitzpatrick.



Il metodo variazionale basato sul funzionale WIDE consiste a grandi linee in una perturbazione ellittica (nel tempo) del problema di evoluzione. In particolare, la questione centrale dell'approccio WIDE e` la possibilita` di passareal limite in questa perturbazione. Il vantaggio della formulazione WIDE sta nel trasformare il problema differenziale, spesso nonlineare, nella minimizzazione di un funzionale convesso.



Il metodo di S. Fitzpatrick consiste nell'estendere la classica caratterizzazione di Fenchel per relazioni ciclicamente monotone (cioe` scritte in termini del gradiente di un potenziale convesso) al caso di operatori non-ciclici. Questa estensione e` molto rilevante in quanto permette di ricomprendere in una teoria variazionale il caso di operatori non simmetrici ed e` stata sfruttata in termini globali nel tempo per la caratterizzazione variazionale di equazioni di evoluzione di natura parabolica, anche degenere.





PROPOSTA DI RICERCA


Ci si propone di approfondire lo studio di metodi variazionali globali di tipo WIDE e Fitzpatrick. In particolare, siamo interessati a stabilire sia risultati di carattere teorico, quali buona positura dei problemi e loro relazioni asintotiche, che di carattere applicativo, quali approssimazione e applicazione a vari contesti modellistici. Tra questi ultimi ci concentreremo particolarmente sull'approccio variazionale globale alla dinamica delle fratture, alla fluidodinamica ed ai problemi con operatori frazionari. Il dettaglio degli obiettivi del progretto e` riportato nella relativa sezione.



Vogliamo sottolineare che il programma di ricerca proposto costituisce la naturale continuazione dell'intensa collaborazione scientifica gia` proficuamente avviata sotto gli auspici del Progetto Comune di Ricerca JSPS-CNR 2012-2013 VarEvol: Innovative variational methods for evolution partial differential equations. Il successo del primo biennio della collaborazione, come riportato nell'allegato rapporto, e` rappresenta la base dell'attivita` del secondo biennio.

Research goals

OBIETTIVI


Riportiamo una suddivisione schematica degli obiettivi del progetto in Work Packages e Tasks:



[WP.1] Funzionale WIDE per applicazioni di frontiera

[T.1.1] Applicare la metodologia WIDE alla modellizazione dell'evoluzione dinamica di fratture in corpi fragili.

[T.1.2] Utilizzare i funzionali WIDE per approssimare l'equazione di Burgers, con e senza viscosita`, ed il sistema di Navier-Stokes incomprimibile.



[WP.2] Funzionale di Fitzpatrick per flussi Hamiltoniani

[T.2.1] Identificare una possibile formulazione variazionale per flussi conservativi mediante la metodologia di Fitzpatrick

[T.2.2] Complementare il metodo di Fitzpatrick con la tecnologia GENERIC (General Equation for Non-Equilibrium Reversible-Irreversible Coupling) per la formulazione di problemi in termomeccanica dei continui, fluidodinamica, ecc.



[WP.3] Metodo WIDE per evoluzioni con operatori frazionari

[T.3.1] Studiare perturbazioni ellittiche di problemi di evoluzione con operatori frazionari nel tempo.

[T.3.2] Considerare la metodologia WIDE per l'approssimazione dei problemi parabolici con laplaciano frazionario.



[WP.4] Metodi numerici basati su approcci variazionali globali

[T.4.1] Sviluppare metodi numerici globali per la soluzione di equazioni alle derivate parziali in domini non cilindrici (tempo-varianti).

[T.4.2] Valutare le prestazioni di metodi numerici globali per equazioni alla derivate parziali in presenza di vincoli globali sulla soluzione.




RILEVANZA DELLA PROPOSTA DI RICERCA


I metodi WIDE e Fitzpatrick hanno dimostrato, anche per mezzo dei risultati ottenuti nel primo biennio del progetto, la loro versatilita` ed efficacia in una varieta` di evoluzioni nonlineari tra le quali i sistemi di flusso gradiente, anche in contesti non-classici (spazi metrici, spazi di Wasserstein), i problemi parabolici degeneri, i moti per curvatura, le equazioni di reazione-diffusione e doppiamente nonlineari, la meccanica lagrangiana e le onde nonlineari.



Il progetto di ricerca si propone di estendere considerevolmente l'ambito di applicazione di queste tecniche concentrandosi su problematiche modellistiche di grande interesse applicativo ed attualita`.



Il problema dell'evoluzione dinamica delle fratture e` un campo di ricerca di evidente rilevanza e quasi del tutto inesplorato dal punto di vista matematico. La caratterizzazione variazionale dell'evoluzione dei fluidi e`, ad oggi, largamente ancora da sviluppare. Non vi sono attualmente metodi variazionali globali disponibili per evoluzioni con operatori frazionari (tra i quali spiccano i recenti problemi di natura finanziaria collegati al prezzaggio dei derivati). I problemi alle derivate parziali in domini non cilindrici e con vincoli nonlocali presentano ad oggi difficolta` numeriche ancora da risolversi compiutamente. Il successo del programma di ricerca contribuira`

Last update: 07/06/2025